Porque aprender matemáticas... ¡También es divertido! » Publicaciones con la etiqueta'fractal'

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Conjuntos de Julia

Los conjuntos de Julia son los fractales que se obtienen como producto de la dinámica de polinomios de segundo grado. Reciben este nombre debido a que G. Julia y P. Fatou (matemáticos de la época de la segunda guerra mundial) imaginaron, sin ayuda de computadoras, la forma geométrica.

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Dimensión fractal

La dimensión fractal de un objeto es un parámetro que nos cuantifica la capacidad de éste para ocupar espacio. Un punto tiene dimensión cero; una línea tiene dimensión uno, ya que sólo tiene longitud; la superficie de una hoja de papel tiene dimensión dos, ya que tiene dos longitudes, largo y ancho; un cubo tiene dimensión tres, ya que además de largo y ancho podemos medir profundidad, por lo cual podemos hablar de volumen.

A diferiencia de los anteriores, la dimensión de los fractales está entre dos dimensiones enteras. Repitiendo un mismo motivo indefinidamente, el fractal ocupa un espacio finito, mientras que su perímetro alcanza longitud infinita.

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Fractal

Un fractal es un ente matemático con dos propiedades principales, la autosimilitud y la dimensión fractal.

Una figura es autosimilar si al observar un detalle contenido en una de sus partes, reconocemos en él la forma de la figura geométrica inicial. Por ejemplo, en el triángulo de Sierpinsky encontraremos dentro de cada triángulo que lo conforma, una copia entera de sí mismo, como se puede apreciar en la figura

Benoit Mandelbroot Comentarios desactivados

Los meses anteriores los hemos dedicado a quienes han sentado las bases de la Matemática que conocemos hoy día; este mes lo dedicaremos a un matemático de nuestro tiempo: Benoit Mandelbroot, que usó por primera vez la palabra fractal (roto o interrumpido) para describir los patrones geométricos de fenómenos naturales por lo que atinadamente ha sido llamado padre de la geometría fractal.

Benoit Mandelbroot nació un 20 de noviembre de 1924, en Varsovia, capital de Polonia. En 1963 la familia se mudó a París, donde un tío paterno enseñaba matemáticas en la Universidad; así que Benoit creció entre reuniones de matemáticos, que hablaban de matemáticas, y éste comenzó a interesarse en matemáticas también; sin embargo no contó con el beneplácito de su tío que trabajaba en cálculo avanzado mientras él se había apasionado con la geometría, pues en opinión de su tío, la geometría había llegado a su fin.

Para 1944, y después de que desde 1940 la familia había huido de los nazis (pues eran judíos), Benoit se preparaba para ingresar a la Universidad de París, naturalmente en el área de matemáticas ahí, junto a Paul Levy estudió la teoría de probabilidad aplicada a fenómenos físicos, principalmente el movimiento Browniano. En 1952, obtuvo su doctorado, su tesis doctoral agregó ideas a la termodinámica, la cibernética de Norbert Wiener y la teoría de juegos de John Von Newman, reflejando su esfuerzo continuo para agregar caminos entre las matemáticas y la física. En 1955 se casó con Aliete Kagan y aceptó un puesto en el Departamente de Investigación de la IBM. Después Benoit Mandelbroot, diría que había identificado un nuevo fenómeno presente en muchos aspectos de la naturaleza, fue ahí donde comenzó su interés por la geometría fractal, como él mismo la llamaría.

Al iniciar su primera conferencia sobre geometría fractal preguntó: ¿cuál es la longitud de la línea costera de la Gran Bretaña? Es sencillo si nos fijamos en un mapa de un atlas y usamos 8 segmentos de recta que representan 200 millas cada uno, cubrimos la línea costera y obtenemos 1600 millas, sin embargo, si usamos segmentos más cortos que representen 25 mills cada uno, tratando de ajustar los zigzagueos del litoral, obtenemos 102 segmentos que nos dan un total de 2250 millas, y si nos aproximamos más a cada saliente del litoral, la longitu varía. El litoral es un FRACTAL, en lugar de tener dimensión 1 (como una línea), tiene una dimensión fractal, de aproximadamente 1/2. A lo largo de los años, se han descubierto muchos tipos de fractales. Cada uno tenía una ecuación que genera una serie de números complejos, que al ir iterando se generan imágenes fractales, si se utilizan colores, las imágenes son verdaderas bellezas. Cuando Mandelbroot generó sus primeros fractales utilizó tarjetas perforadas para alimentar una computadora IBM de su tiempo. Hoy día no es demasiado complicado generar imágenes fractales utilizando una PC.

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